Halil TANIR-Matematik Öğretmeni-KONYA

Matematiğin en güzel ve önemli alanlarından biri de sayılar teorisidir; sayıları ve özelliklerini inceler. Her ne kadar matematikciler insanların sayabildiği dönemlerden bu yana sayılarla uğraşıyor olsalarda, sayılar teorisi alanı demode olmaktan çok uzaktır; bugünkü en önemli ve ilginç problemlerden bazıları bu alanla ilgilidir. Özellikle asal sayılar büyük ilgi merkezidir.

Tanım: Sadece 1 ve kendine bölünebilen pozitif tamsayıya asal sayı denir.
1 den büyük asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir.

Örneğin, 2,3 ve 5 asal sayılar ama 6 bileşik sayıdır. Tüm pozitif tamsayılar en az bir tane asal bölene sahiptir. Sayı asal ise asal böleni kendisidir. Bileşik ise asal çarpanlarına ayırarak bulunur: 6=3*2, 18=3*3*2, 48=6*8=2*3*2*2*2

En küçük asal sayı;2

Yalnızca bir tane çift asal sayı vardır:2

Ardışık iki asal sayı;2,3

Burada bir noktaya değinmek istiyorum;Genelde öğrenciler soruyor "1 neden asal sayı değil?" yada örneğin "-2 neden asal sayı değil?" gibi.Unutmamamız gereken bir şey var ki o da asal sayıları "bizim tanımladığımız"dır.Yani tanımı biz yaptıktan sonra asal sayıları tartışıyoruz.Birisi çıksa ve şöyle bir tanım yapsa;"-5 ten küçük ve kendisinden ve 1 den başka böleni olmayan tamsayılar" ki yapabilir o sayılara da bir ad verse kimsenin bir şey söylemeye hakkı olmaz.(Ancak o sayılar masal olarak kalabilir)

İlk 50 sayı arasındaki asal sayılar;

Teorem (Euclid teoremi) :" Sonsuz tane asal sayı vardır."

Asal sayıların sonsuz oluşu olmayana ergi yöntemiyle kolayca ispatlanabilir.

şöyle ki:

"p'nin en büyük asal sayı olduğunu var sayalım. yani asal sayılar 2,3...p şeklinde bitsin.
k de (2*3*5*7...*p)+1 olsun. görüldüğü gibi k sayısı 2,3,5... gibi sayıların hiç birine bölünemez, 1 kalanını verir. solayısıyla p den büyük k asal sayısı elde edilmiş olur.Bu döngü sonsuza kadar devam eder.. "

Asal sayılar nasıl bulunur :

Bu hala matematikçilerin cevap bulmaya çalıştıkları bir sorudur. En basit yöntemlerden biri Eratosthenes tarafından M.Ö. 3 yy da geliştirildi. 1 ile 64 arasındaki asal sayıları bulmak istediğimizi farzedelim. Bu sayılardan oluşan bir tablo yapın ve şu şekilde devam edin. En küçük asal iki olduğundan, 2 nin bütün katlarının üzerlerini çiziniz. sonraki çizilmeyen sayı 3 olduğundan 3 ü çember içine alıp katlarının üzerlerini çizin. Sonraki 5 sayısı için de aynısını yapın ve böyle devam edin. Sayılar çoğaldığında bu işlem uzayacak ve nerede son bulacağını bilmek gerekecektir. Bir teoreme göre, bir sayının asallığını araştırmak için en son, onun kareköküne en yakın asal inecelense yetecektir. 64 ün karekökü 8 olduğundan 5 in katlarını silmek yetecektir. Sonuçta kalan sayılar (çizilmeyenler) aradığımız asal sayılardır. Maalesef bu metod sayılar büyüdükçe çok zaman gerektirmektedir. .

asal sayılar;

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017,....

Asal sayılar teorisi:

Matematikçiler asal sayılarla ilgili çok teori geliştirmişlerdir. Burada bazılarına değineceğiz…

Soru: Asal sayılar birbirlerinden ne kadar uzaktırlar? Bazen sadece 2 tamsayı (ikiz asal sayılar) : 41 ve 43 gibi. Çok örneği olmakla birlikte, ikiz asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu ispatlanamamıştır.
Genelde, asal sayılar büyüdükçe aralıkları artmaktadır. Ne kadar arttığı hususunda 1896 da Charles de la Vallee-Poussin ve Jacques Hadamard Asal Sayı Teoremi ile cevap aramışlardır: Pr(x), x ten küçük asal sayıların sayısı olsun. Bu durumda x sonsuz giderken, Pr(x) ile (x/ln(x)) oranı 1 e yaklaşmaktadır.
Bunun anlamı, n bir asal sayı ise, bir sonraki asal sayı ile arasındaki uzaklık yaklaşık olarak ln(n) dir.

Goldbach varsayımı:

Leonard Euler yazdığı bir mektupta Christian Goldbach, 2 den büyük her pozitif çift tamsayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini söylemiştir. Bilgisayarlarla bu çok büyük sayılara kadar doğrulanmasına karşın ispatı henüz yapılamamıştır. Goldbach’ın döneminden bu yana bu varsayım, ‘güçlü’ Goldbach varsayımı (kendi öne sürdüğü) ve ‘zayıf’ Goldbach varsayımı - 7 den büyük her tek sayı üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir - olarak ayrılmıştır.

Bilinen en büyük asal sayılar (2007 Ocak ayı için)

sıra sayı basamak yıl comment

1 2^32582657-1 9808358 G9 2006

2 2^30402457-1 9152052 G9 2005

3 2^25964951-1 7816230 G8 2005

4 2^24036583-1 7235733 G7 2004

5 2^20996011-1 6320430 G6 2003

6 2^13466917-1 4053946 G5 2001

Asal Sayı Hesaplama Programı (40 kb)

Bu program belirlediğiniz iki sayı arasındaki asal sayıları hesaplar ve programın sol kısmında bulunan kutuda gösterir. Ayrıca "hesaplama raporu" ile hesaplanan asal sayılar Not Defteri ile de görüntülenir. Programın görüntüsü aşağıdaki gibidir:

Programı yükle YÜKLE